Georg Cantor (1845 – 1918)

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 Mart 1845 – 6 Ocak 1918), Alman matematikçi. Kümeler kavramının kurucusudur. Kümeler arasında birebir eÅŸlemenin önemini ortaya koymuÅŸ, “sonsuz küme” kavramına matematiksel bir tanım getirmiÅŸ ve gerçel sayıların sonsuzluÄŸunun doÄŸal sayıların sonsuzluÄŸundan “daha büyük” olduÄŸunu ispatlamıştır. Ayrıca kardinal sayı ve ordinal sayı kavramlarını ortaya atmış ve bu sayıların aritmetiÄŸini tanımlamıştır. Cantor’un buluÅŸlarının matematik ve felsefede önemli yeri vardır.

Cantor’un “sonsuzötesi sayılar” fikri sezgilerimizle ters düştüğü için, zamanın matematikçileri tarafından yoÄŸun ÅŸekilde eleÅŸtirilmiÅŸtir. Henri Poincaré, Cantor’un fikirlerini “matematiÄŸi istila eden korkunç bir hastalık” olarak nitelendirmiÅŸ, Leopold Kronecker ise Cantor’u “ÅŸarlatan”lıkla suçlamıştır. Cantor’un 1884′ten hayatının sonuna kadar yaÅŸadığı depresyon nöbetlerinin, kısmen bu saldırılardan kaynaklandığı iddia edilmiÅŸse de, nöbetlerin asıl sebebi muhtemelen bipolar bozukluktur.

Günümüzde, Cantor’un fikirleri matematikçilerin büyük çoÄŸunluÄŸu tarafından doÄŸru kabul edilmekte ve matematik tarihinin en önemli paradigma deÄŸiÅŸimlerinden biri olarak tanınmaktadır. David Hilbert, “Cantor’un yarattığı cennetten bizi kimse kovamayacaktır” diyerek Cantor’un katkılarının önemini vurgulamıştır.

Cantor, 3 Mart 1845′te, Rusya’nın o zamanki baÅŸkenti St. Petersburg’da dünyaya geldi. Babası Georg Waldemar Cantor, Danimarka kökenli bir tüccardı ve St. Petersburg borsasında simsarlık yapıyordu. Annesi Maria Anna Cantor ise Avusturya kökenliydi ve yetenekli bir müzisyendi.

Babanın saÄŸlığı bozulunca, aile 1856′da Almanya’nın Frankfurt kentine taşındı. Cantor, Darmstadt’ta bir yatılı liseye yazıldı, ve 1860′da buradan yüksek baÅŸarıyla mezun oldu. 1862′de ise Zürih Politeknik Enstitüsü’ne (bugün ETH Zürih) girerek matematik okumaya baÅŸladı. Bir yıl sonra babası ölünce Almanya’ya döndü ve Berlin Ãœniversitesi’ne yazıldı. Burada, zamanın büyük matematikçileri Ernst Kummer, Karl Weierstrass ve Leopold Kronecker’den dersler aldı. 1867′de sayılar kuramı üzerine yazdığı tezini sunarak üniversiteden mezun oldu.

Bir süre Berlin’deki bir kız okulunda öğretmenlik yaptıktan sonra, 1869′da Halle Ãœniversitesi’nde doçent olarak çalışmaya baÅŸladı.

Cantor, Halle Ãœniversitesi’ndeki meslekdaşı Eduard Heine’nin etkisiyle sayılar kuramından uzaklaşıp analizle ilgilenmeye baÅŸladı. 1870′de, bir fonksiyonun birden fazla trigonometrik seri açılımı olamayacağını kanıtlayarak adını duyurdu. Cantor’dan önce, Heine’nin yanısıra Lejeune Dirichlet, Rudolph Lipschitz ve Bernhard Riemann gibi pek çok matematikçi bu problemle uÄŸraÅŸmış ama sonuca ulaÅŸamamıştı. 1870-72 arasında Cantor trigonometrik serilere iliÅŸkin bir dizi makale yayımladı, ve 1872′de Sıradışı Profesör ünvanını kazandı. Aynı sene yazışmaya baÅŸladığı meslekdaşı Richard Dedekind, gerçel sayıları “Dedekind kesitleri” olarak tanımladığı meÅŸhur makalesinde, Cantor’un trigonometrik seri makalelerinden birini referans olarak gösterdi.

Cantor 1873′te rasyonel sayıların doÄŸal sayılarla birebir eÅŸlenebildiÄŸini, bir baÅŸka deyiÅŸle rasyonel sayıların sayılabilir sonsuzlukta olduÄŸunu kanıtladı. Aynı yıl, cebirsel sayıların (yani katsayıları tamsayı olan herhangi bir polinomun kökü olarak yazılabilen gerçel sayıların) da sayılabilir olduÄŸunu kanıtladı. 1874′te ise gerçel sayıların tamamının sayılabilir olmadığını gösterdi. Böylece gerçel sayıların çok küçük bir kısmının cebirsel olduÄŸu, neredeyse tamamının aÅŸkın sayılar olduÄŸu ortaya çıktı.

Cantor bundan sonra, boyut sayıları farklı olan kümelerin, mesela bir birim uzunluÄŸundaki (tek boyutlu) bir doÄŸru parçasıyla bir birimkare alana sahip (iki boyutlu) bir karenin, birebir eÅŸlenip eÅŸlenemeyeceÄŸini araÅŸtırmaya baÅŸladı. 1877′de bulduÄŸu sonuç oldukça ÅŸaşırtıcıydı: Bir birim uzunluÄŸunda bir doÄŸru parçasının üzerindeki noktalar, p boyutlu uzayın tüm noktalarıyla birebir eÅŸlenebiliyordu. Arkadaşı Dedekind’e bu sonuçtan bahsederken “Je le vois, mais je ne le crois pas!” (“Görüyorum, ama inanmıyorum!”) diye yazdı.

1878′te yazdığı bir makalede, birebir eÅŸleme, sayılabilirlik ve boyut kavramlarına açıklık getirdi. Cantor, kendi fikirlerine açıkça karşı çıkan Kronecker’in muhalefetinden korktuÄŸu için bu makaleyi yayımlanmadan önce geri çekmek istemiÅŸ, Dedekind ve Weierstrass’ın desteÄŸiyle bundan vazgeçmiÅŸti.

1879 ve 1884 arasında yayımladığı altı makaleyle, kümeler kuramının temellerini attı, “sonsuzötesi” (kardinal ve ordinal) sayılar fikrini anlattı. Bu makaleleri yayımlayan Mathematische Annalen dergisinin editörleri, aslında büyük bir cesaret örneÄŸi sergiliyorlardı, çünkü Cantor’un fikirleri, Kronecker’un başını çektiÄŸi bir grup nüfuzlu matematikçi tarafından ÅŸiddetle eleÅŸtiriliyor ve hatalı bir düşünce ÅŸekli olarak yorumlanıyordu. Bu kuvvetli muhalefetin farkında olan Cantor, makalelerinde eleÅŸtirilere uzun uzun cevap vermeye özen gösteriyordu.

Mayıs 1884′te ilk ağır depresyon nöbetini geçiren Cantor, birkaç hafta içinde kendini toparladıysa da matematiÄŸe dönmek için yeterli özgüveni bulamadığından, felsefe ve edebiyatla ilgilenmeye baÅŸladı. Sonsuzluk ve kümeler hakkında kendi geliÅŸtirdiÄŸi fikirlerin felsefi ve teolojik sonuçlarıyla ilgileniyor, ve bu konuda pek çok filozofla yazışıyordu. Bu yazışmaların bir kısmını 1888′de yayımladı. Edebiyatta ise Shakespeare’in tiyatro eserlerini inceliyor, bunların aslında Shakespeare deÄŸil Francis Bacon tarafından yazıldığını kanıtlamaya çalışıyordu. Shakespeare ve Bacon konusundaki bu garip saplantısından hayatı boyunca vazgeçmeyecek, bu konuyla ilgili araÅŸtırmalarını 1896 ve 1897′de iki kitapçık halinde yayımlayacaktı. (Saplantının sebebi büyük ihtimalle bipolar bozukluk idi.)

1890′da, Alman Matematikçiler Cemiyeti’nin (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) kurucularından biri oldu, ve bu cemiyetin 1891′deki ilk toplantısına baÅŸkanlık etti. Bu toplantıya, bir türlü iyi geçinemediÄŸi Leopold Kronecker’i de davet ettiyse de, karısı bir daÄŸcılık kazasında ciddi ÅŸekilde yaralanınca Kronecker toplantıya katılamadı. Bu toplantıda Cantor, yeni kurulan Cemiyet’in ilk baÅŸkanı seçildi.

Cantor, son önemli makalesini 1895 ve 1897′de iki kısım halinde yayımladı. Bu makalede, kümeler kuramıyla ilgili bugün alışık olduÄŸumuz bazı kavramları (altkümeler gibi) tanımlıyor, kardinal ve ordinal aritmetiÄŸi tekrar gözden geçiriyordu. Cantor bu makalesinde süreklilik hipotezinin de bir kanıtını sunmak istemiÅŸ, ama çok uÄŸraÅŸtığı halde kanıtı bulamamıştı. (Süreklilik hipotezi, eleman sayısı olarak doÄŸal sayılardan büyük, gerçel sayılardan küçük bir kümenin varolmadığını söyler. Kurt Gödel ve Paul Cohen 20. yüzyılda göstermiÅŸlerdir ki, geleneksel kümeler kuramı aksiyomlarından yola çıkılarak bu hipotezin doÄŸruluÄŸu da yanlışlığı da kanıtlanamaz.)

Aralık 1899′da en küçük oÄŸlunun ani ölümüyle bir kez daha depresyona girdi ve bir daha asla tam anlamıyla toparlanamadı. Pek çok kez iÅŸinden izin alıp çeÅŸitli senatoryumlarda tedavi gören Cantor, bu sancılı döneminde de bir taraftan matematikle uÄŸraÅŸmayı bırakmadı. Deutsche Mathematiker-Vereinigung’un 1903′teki toplantısında, kümeler kuramının paradoksları üzerine bir dizi konuÅŸma yaptı, ve Heidelberg’deki 1904 Uluslararası Matematikçiler Kongresi’ne katıldı.

1911′de Ä°skoçya’daki St. Andrews Ãœniversitesi’nin 500. kuruluÅŸ yıldönümü kutlamalarına davet edilince çok sevindi. Burada, kümeler kuramının yeni yıldızı Bertrand Russell ile tanışmayı umuyordu, ama saÄŸlık problemleri sebebiyle Almanya’ya erken dönmek zorunda kalınca bu umudu gerçekleÅŸmedi. 1912′de St. Andrews Ãœniversitesi Cantor’a fahri doktora verdi, fakat Cantor yine saÄŸlık problemleri yüzünden Ä°skoçya’ya gidip doktorasını alamadı.

Cantor 1913′te emekliye ayrıldı, ve I. Dünya Savaşı koÅŸulları yüzünden fakirlik içinde yaÅŸamaya baÅŸladı. 1915′te, Halle’de Cantor’un 70. yaÅŸgünü için planlanan kutlamalar savaÅŸ yüzünden iptal edilince Cantor yaÅŸgününü evinde daha mütevazı koÅŸullarda kutladı. Haziran 1917′de tekrar bir senatoryuma giren Cantor, burada 6 Ocak 1918′de (72 yaşında) geçirdiÄŸi bir kalp krizi sonucunda hayata gözlerini yumdu ve Halle’deki Giebichenstein Mezarlığı’na gömüldü.

Cantor, AÄŸustos 1874′te kızkardeÅŸinin arkadaşı Vally Guttmann ile evlendi, ve bu evlilikten altı çocuÄŸu oldu. Ãœniversiteden aldığı maaşın çok düşük olmasına raÄŸmen, babasından kalan miras sayesinde ailesini geçindirebildi.